Question

【題目】已知橢圓，過點且不過點的直線與橢圓交于，兩點，直線與直線交于點．

（Ⅰ）若垂直于軸，求直線的斜率；

（Ⅱ）試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）平行，理由見解析．

【解析】

（Ⅰ）根據題意可設，，求出AE的方程，令可求得M的坐標從而可得直線的斜率；（Ⅱ）當直線的斜率不存在時由可得；當直線的斜率存在時設，，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理表示出、，化簡可得，則.

（Ⅰ）因為過點且垂直于軸，所以可設，．

直線的方程為，

令，得，則，

所以直線的斜率．

（Ⅱ）直線與直線平行．證明如下：

①當直線的斜率不存在時，由（Ⅰ）可知．

又因為直線的斜率，所以，

②當直線的斜率存在時，設其方程為

設，，則直線的方程為．令，得點．

由，得，

所以，．

直線的斜率．

因為

，

所以．所以．

綜上可知，直線與直線平行．