Question

（2007•湛江二模）如圖，F是定直線l外的一個定點，C是l上的動點，有下列結論：若以C為圓心，CF為半徑的圓與l相交于A、B兩點，過A、B分別作l的垂線與圓C過F的切線相交于點P和點Q，則必在以F為焦點，l為準線的同一條拋物線上．
（Ⅰ）建立適當的坐標系，求出該拋物線的方程；
（Ⅱ）對以上結論的反向思考可以得到另一個命題：“若過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于P、Q兩點，則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準線l相切”請問：此命題是正確？試證明你的判斷；
（Ⅲ）請選擇橢圓或雙曲線之一類比（Ⅱ）寫出相應的命題并證明其真假．（只選擇一種曲線解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為平分依據）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由切線長相等可想過F作l的垂線交l于K，以KF的中點為原點，KF所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則拋物線為以F為焦點，l為準線的拋物線，由拋物線的定義可得拋物線的方程；
（Ⅱ）設出PQ的中點坐標，再分別設出P、Q、M在拋物線準線l上的射影分別為A、B、D，因為PQ是拋物線過焦點F的弦，由梯形中位線知識結合拋物線的定義可得以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準線l相切；
（Ⅲ）選擇橢圓類比（Ⅱ）所寫出的命題為：
“過橢圓一焦點F的直線與橢圓交于P、Q兩點，則以PQ為直徑的圓與橢圓相應的準線l相離”．
證明時由梯形中位線知識結合橢圓第二定義列式得到|MD|=

|PA|+|QB|

2

=

1

2

(

|PF|

e

+

|QF|

e

)=

|PQ|

2e

＞

|PQ|

2

從而問題得到證明，同樣選擇雙曲線進行類比．

解答：解：（Ⅰ）過F作l的垂線交l于K，以KF的中點為原點，KF所在直線為x軸建立平面直角坐標系如圖1，
并設|KF|=p，則可得該拋物線的方程為 y²=2px（p＞0）；
（Ⅱ）該命題為真命題，證明如下：
如圖2，設PQ中點為M，P、Q、M在拋物線準線l上的射影分別為A、B、D，
∵PQ是拋物線過焦點F的弦，
∴|PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB的中位線，
∴|MD=

1

2

(|PA|+|QB|)=

1

2

(|PF|+|QF|)=

|PQ|

2

．
∵M是以PQ為直徑的圓的圓心，
∴圓M與l相切．
（Ⅲ）選擇橢圓類比（Ⅱ）所寫出的命題為：
“過橢圓一焦點F的直線與橢圓交于P、Q兩點，則以PQ為直徑的圓與橢圓相應的準線l相離”．
此命題為真命題，證明如下：
證明：設PQ中點為M，橢圓的離心率為e，
則0＜e＜1，P、Q、M在相應準線l上的射影分別為A、B、D，
∵

|PF|

PA

=e，∴|PA|=

|PF|

e

，同理得|QB|=

|QF|

e

．
∵MD是梯形APQB的中位線，
∴|MD|=

|PA|+|QB|

2

=

1

2

(

|PF|

e

+

|QF|

e

)=

|PQ|

2e

＞

|PQ|

2

，
∴圓M與準線l相離．
選擇雙曲線類比（Ⅱ）所寫出的命題為：
“過雙曲線一焦點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點，則以PQ為直徑的圓與雙曲線相應的準線l相交”．
此命題為真命題，證明如下：
證明：設PQ中點為M，橢圓的離心率為e，
則e＞1，P、Q、M在相應準線l上的射影分別為A、B、D，
∵

|PF|

PA

=e，∴|PA|=

|PF|

e

，同理得|QB|=

|QF|

e

．
∵MD是梯形APQB的中位線，
∴|MD|=

|PA|+|QB|

2

=

1

2

(

|PF|

e

+

|QF|

e

)=

|PQ|

2e

＜

|PQ|

2

，
∴圓M與準線l相交．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了數形結合的思想方法，綜合考查了學生的類比推理能力和計算能力，是有一定難度題目．