Question

設數列{a_n}是以(

x

-

1

x

)6展開式的常數項為首項，并且以橢圓3x²+4y²-6x-9=0的離心率為公比的無窮等比數列，

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)為

-40

．

Answer 1

分析：利用二項式展開式的通項公式求出a₁=-20，再求出橢圓的離心率為

1

2

，求出此等比數列的前n項和，利用數列極限的運算法則求出結果．

解答：解：∵(

x

-

1

x

)6展開式的通項T_r+1=C₆^r 

x

6-r (-

x

)-r=(-1)r

C

6 r

 x

6-2r

2

，
令r=3 可得常數項為-20，即a₁=-20．
 橢圓3x²+4y²-6x-9=0即

(x-1)2

4

+

y2

3

=1，離心率為

1

2

，故數列{a_n} 的公比的等于

1

2

．
此等比數列的前n項和為 a₁+a₂+…+a_n=

-20[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=-40（1-

1

2n

 ）．
∴

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

lim

n→∞

-40( 1-

1

2n

)=-40，
故答案為：-40．

點評：本題考查求二項式展開式的某項的系數，橢圓的簡單性質，等比數列的前n項和公式，以及數列極限的運算法則，求出 a₁+a₂+…+a_n=-40（1-

1

2n

 ），是解題的關鍵和難點．