Question

已知函數f（x）=1+ln

x

2-x

（0＜x＜2）．
（1）試問f（x）+f（2-x）的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是請，說明理由；
（2）定義Sn=

2n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

2n-1

n

)，其中n∈N^*，求S₂₀₁₃；
（3）在（2）的條件下，令S_n+1=2a_n，若不等式2an•(an)m＞1對?n∈N^*且n≥2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=1+ln

x

2-x

（0＜x＜20，計算f（x）+f（2-x）即可作出答案；
（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2，S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（2-

2

n

）+f（2-

1

n

），利用倒序相加法可求得S_n，從而可求得S₂₀₁₃；
（3）當n∈N^*且n≥2時，不等式2an•(an)m＞1?

n

lnn

＞-

m

ln2

，故不等式

n

lnn

＞-

m

ln2

恒成立?(

n

lnn

)min＞-

m

ln2

；設g（x）=

x

lnx

（x＞0），由導數可求得[g（n）]_min，從而由[g（n）]_min＞-

m

ln2

即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）+f（2-x）的值為定值．
證明如下：f（x）+f（2-x）=2+ln

x

2-x

+1+ln

2-x

x

=2+ln（

x

2-x

•

2-x

x

）=2+ln1=2．
（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2（0＜x＜2）．
令x=

i

n

，則f（

i

n

）+f（2-

i

n

）=2（i=1，2，…，2n-1）．
∵S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（2-

2

n

）+f（2-

1

n

）①
S_n=f（2-

1

n

）+f（2-

2

n

）+…+f（

2

n

）+f（

1

n

）②
由①+②得：2S_n=2（2n-1），
∴S_n=2n-1（n∈N^*）．
∴S₂₀₁₃=2×2013-1=4025．
（3）由（2）得S_n=2n-1（n∈N^*），又S_n+1=2a_n，
∴a_n=

Sn+1

2

=n（n∈N^*），
∵當n∈N^*且n≥2時，不等式2an•(an)m＞1?2ⁿ•n^m＞1?ln（2ⁿ•n^m）＞0?nln2+mlnn＞0?

n

lnn

＞-

m

ln2

．
∴不等式

n

lnn

＞-

m

ln2

恒成立?(

n

lnn

)min＞-

m

ln2

．
設g（x）=

x

lnx

（x＞0），則g′（x）=

lnx-1

(lnx)2

．
當0＜x＜e時，g′（x）＜0，g（x）在（0，e）上單調遞減；
當x＞e時，g′（x）＞0，g（x）在（e，+∞）上單調遞增．
∵g（2）-g（3）=

2

ln2

-

3

ln3

=

ln9-ln8

ln2•ln3

＞0，故g（2）＞g（3），
∴當n∈N^*且n≥2時，[g（n）]_min=g（3）=

3

ln3

．
由[g（n）]_min＞-

m

ln2

得：

3

ln3

＞-

m

ln2

，解得m＞-

3ln2

ln3

．
∴實數m的取值范圍是（-

3ln2

ln3

，+∞）．

點評：本題考查數列的求和，考查函數恒成立問題，突出考查導數在最大值、最小值問題中的應用，考查化歸思想與邏輯思維、抽象思維能力、運算能力的綜合應用，屬于難題．