Question

【題目】已知數列滿足，．求證：當時，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）當時，有；

（Ⅲ）當時，有．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）通過數學歸納法，即可證明；

（Ⅱ）先通過構造函數，利用其單調性，對遞推公式放縮，得到，再利用累乘法即可證明；

（Ⅲ）通過構造函數，由導數證明在上恒成立，從而得，再根據放縮法可得，變形得到，由累乘法即可證出．

（Ⅰ）用數學歸納法進行證明．

①當時，成立；

②假設當時，有成立，則當時，有，又，故，綜上，可知當時，均有．

（Ⅱ）設，則恒成立，在上單調遞增，所以，即．

因為，即，

當時，由累乘法可得，，

又，即，所以；

因為，即，

當時，由累乘法可得，，

又，即，所以，

故當時，有；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知， ，即，且．

設，恒成立，

在上單調遞增，所以，所以，

因為，

即，且，

所以，即，

故有，變形為，

當時，所以，

又，即，所以．