Question

【題目】已知數列的前n項和為，且滿足，數列中，，對任意正整數，.

（1）求數列的通項公式；

（2）是否存在實數，使得數列是等比數列？若存在，請求出實數及公比q的值，若不存在，請說明理由；

（3）求數列前n項和.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在，，

（3）（）

【解析】

（1）根據與的關系即可求出；

（2）假設存在實數，利用等比數列的定義列式，與題目條件，比較對應項系數即可求出，即說明存在這樣的實數；

（3）由（2）可以求出，所以根據分組求和法和分類討論法即可求出．

（1）因為，

當時，；

當時，．

故；

（2）假設存在實數，使得數列是等比數列，數列中，，

對任意正整數，.可得，且，

由假設可得，即，

則，可得，

可得存在實數，使得數列是公比的等比數列；

（3）由（2）可得，則，

則前n項和

當n為偶數時，

當n為奇數時，

則（）．