Question

已知點F（0，1），一動圓過點F且與圓x²+（y+1）²=8內切，
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）設點A（a，0），點P為曲線C上任一點，求點A到點P距離的最大值d（a）；
（3）在0＜a＜1的條件下，設△POA的面積為s₁（O是坐標原點，P是曲線C上橫坐標為a的點），以d（a）為邊長的正方形的面積為s₂．若正數m滿足s1≤

1

4

ms2，問m是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設圓心坐標為P（x，y），則動圓的半徑為r=

x2+(y-1)2

，又動圓與x²+（y+1）²=8內切，故

x2+(y+1)2

=|2

2

-r|，由此能求出動圓圓心的軌跡C的方程．
（2）設P（x，y），則|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²=-（x+a）²+2a²+2，令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]．再分類討論能夠推導出d(a)=

1-a，a＜-1 2a2+2 ，-1≤a≤1 1+a，a＞1

．
（3）當0＜a＜1時，P（a，±

2-2a2

），于是S1=

1

2

a

2(1-a2)

，S₂=2a²+2，若正數m滿足條件，則m≥

a 2(1-a2)

a2+1

，
m2≥

2a2(1-a2)

(a2+1)2

，令f(a)=

2a2(1-a2)

(a2+1)2

，設t=a²+1，則t∈（1，2），a²=t-1，于是f(a)=

2(t-1)(2-t)

t2

=-4(

1

t

-

3

4

)2+

1

4

，由此能夠導出m存在最小值

1

2

．

解答：解：（1）設圓心坐標為P（x，y），則動圓的半徑為r=

x2+(y-1)2

，
又動圓與x²+（y+1）²=8內切，
∴

x2+(y+1)2

=|2

2

-r|，
整理得2x²+y²=2，
∴動圓圓心的軌跡C的方程為2x²+y²=2．
（2）設P（x，y），則
|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²
=-x²-2ax+a²+2
=-（x+a）²+2a²+2，
令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]，
∴當-a＜-1，即a＞1時，f（x）在[-1，1]上是減函數，
[f（x）]_max=f（-1）=（a+1）²．
當-1≤-a≤1，即-1≤a≤1時，f（x）在[-1，-a]上是增函數，在[-a，1]上是減函數，
則[f（x）]_max=f（-a）=2a²+2．
當-a＞1，即a＜-1時，f（x）在[-1，1]上是增函數，
[f（x）]_max=f（1）=（a-1）²，
∴d(a)=

1-a，a＜-1 2a2+2 ，-1≤a≤1 1+a，a＞1

．
（3）當0＜a＜1時，P（a，±

2-2a2

），于是S1=

1

2

a

2(1-a2)

，S₂=2a²+2，
若正數m滿足條件，則

1

2

a

2(1-a2)

≤

1

4

m(2a2+2)，
即m≥

a 2(1-a2)

a2+1

，
m2≥

2a2(1-a2)

(a2+1)2

，令f(a)=

2a2(1-a2)

(a2+1)2

，
設t=a²+1，則t∈（1，2），a²=t-1，
于是f(a)=

2(t-1)(2-t)

t2

=2(

-t2+3t-2

t2

)=2(-

2

t2

+

3

t

-1)=-4(

1

t

-

3

4

)2+

1

4

，
∴當

1

t

=

3

4

，即t=

4

3

∈(1，2)時，[f(a) ]max=

1

4

，
即m2≥

1

4

，m≥

1

2

，∴m存在最小值

1

2

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．