Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，點分別為棱的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面

(Ⅱ)求證：平面平面;

(Ⅲ)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成的角為300?如果存在，求出線段的長；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）1.

【解析】

(1) 方法一：取中點為,連結(jié),，要證平面，即證：,；方法二：以為原點，分別以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為，又因為,即可得證.(2)方法一：要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面即證；方法二：分別求出兩個平面的法向量即可得證.(3)建立空間直角坐標系，利用坐標法即可得到結(jié)果.

方法一：(1)取中點為,連結(jié),

由且,

又點為中點，所以 ,

又因為分別為,中點,所以 ,

所以,

所以共面于平面 ,

因為,分別為中點, 所以,

平面,

平面,

所以平面 .

方法二：在直三棱柱中，平面

又因為,

以為原點，分別以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，

由題意得,.

所以,,

設平面的法向量為，則

，即,

令，得,

于是 ,

又因為,

所以 ,

又因為平面，

所以平面 .

（2）方法一：在直棱柱中，平面,

因為 ，所以,

又因為，

且,

所以平面 ,

平面，所以,

又，四邊形為正方形,

所以 ,

又，所以,

又，

且,

所以平面 ,

又平面,

所以平面平面 .

方法二：設平面的法向量為，,

，即 ,

令，得,

于是 ,

,

即，所以平面平面.

（3）設直線與平面所成角為，則,

設，則 ,

,

所以 ,

解得或（舍）,

所以點存在，即的中點，.