Question

在計算機的算法語言中有一種函數[x]叫做高斯函數，它表示數x的整數部分（即小于等于x的最大整數，如[3.15]=3，[0.7]=0，[-2.6]=-3）設函數f(x)=

ax

1+ax

(a＞0，且a≠1)，則函數y=[f(x)-

1

2

]+[f(-x)-

1

2

]的值域為（　　）

• A、{-1，0}
• B、{0}
• C、{-1}
• D、{-1，0，1}

Answer 1

分析：本填空題利用特殊值法解決，取a=2，由題意知，f(x)-

1

2

=

2x

1+2x

-

1

2

是定義域R上的奇函數，且值域是（-

1

2

，

1

2

）；
∴f（-x）的值域也是（-

1

2

，

1

2

）；分x=0，x＞0，x＜0時討論函數y的值即可．

解答：解：由題意，g（x）=f（x）-

1

2

=

2x

1+2x

-

1

2

=1-

1

1+2x

-

1

2

=

1

2

-

1

1+2x

；f（-x）=

2-x

1+2-x

-

1

2

=

1

1+2x

-

1

2

；
∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函數．
又∵2^x＞0，∴1+2^x＞1，∴0 ＜

1

1+2x

＜ 1，∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

；
即 -

1

2

＜g（-x）＜

1

2

．所以，-

1

2

＜g（x）＜

1

2

．
當x=0時，g（x）=g（-x）=0，y=[g（x）]+[g（-x）]=0；
當x≠0時，若x＞0，則0＜g（x）＜

1

2

，-

1

2

＜g（-x）＜0，
∴y=[g（x）]+[g（-x）]=0+（-1）=-1，
若x＜0，則y=[g（x）]+[g（-x）]=（-1）+0=-1．
所以函數y的值域為{0，-1}．
故選A．

點評：本題用求值域來考查指數函數的性質，函數的奇偶性，函數取整問題，應該是有難度的小題．