Question

【題目】[選修4—4：坐標系與參數方程]

在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）設是曲線上的一個動瞇，當時，求點到直線的距離的最小值；

（2）若曲線上所有的點都在直線的右下方，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將直線的極坐標方程化為普通方程，利用點到直線距離公式構造出距離關于參數的三角函數關系式，利用三角函數值域可求得的最小值；（2）根據點在直線右下方可得：；利用輔助角公式進行整理可得，從而利用三角函數范圍得到關于的不等式，從而求得范圍.

（1）由，得到

，

直線普通方程為：

設，則點到直線的距離：

當時，

點到直線的距離的最小值為

（2）設曲線上任意點，由于曲線上所有的點都在直線的右下方，

對任意恒成立

，其中，.

從而

由于，解得：

即：