Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，試判斷的符號(hào)；

（2）討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）首先計(jì)算得到，設(shè)，利用二次求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，和比較大小；

（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論，兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，再次求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和最小值，討論求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：（1）.

設(shè)，則.

設(shè)，則，

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴當(dāng)時(shí)，.故，從而.

∴在上單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時(shí)，，從而；

當(dāng)時(shí)，，從而；

當(dāng)時(shí)，，從而.

（2）的定義域?yàn)?/span>，.

∴當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，

又，∴有個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.

∴在上上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴.

設(shè)，則.

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴.

∴當(dāng)時(shí)，，即，

又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故有個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，故有個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，即，

又當(dāng)時(shí)，；由（1）知，故有個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).