Question

若實數a＞0且a≠2，函數f（x）=

1

3

ax³-

1

2

（a+2）x²+2x+1．
（1）證明函數f（x）在x=1處取得極值，并求出函數f（x）的單調區間；
（2）若在區間（0，+∞）上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＜1成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可以求出函數的導數，利用導數研究單調區間，對于含有一個參數的單調區間問題，要注意討論參數a的情況，即：0＜a＜2和a＞2來進行討論，要對x，以及f（x），f′（x）的變化情況表列正確．
（2）本題可以轉化為函數f（x）在區間（0，+∞）上f（x）_極小值＜1即可解答，可以利用（1）的結論，注意對參數a的討論．

解答：解：（1）由已知可得：f′(x)=ax2-(a+2)x+2=a(x-1)(x-

2

a

)   （2分）
當a＞2時，自變量x，以及f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x	(-∞， 2 a )	2 a	( 2 a ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴函數在x=1處取得極值，f（x）的單調遞增區間是(-∞，

2

a

)，（1，+∞）
單調遞減區間是(

2

a

，1)  （4分）
當0＜a＜2時自變量x，以及f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1）	1	(1， 2 a )	2 a	( 2 a ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴函數f（x）在x=1處取得極值，f（x）的單調遞增區間是（-∞，1）和(

2

a

，+∞)，單調遞減區間是(1，

2

a

)   （6分）
（2）因為f（0）=1，由（1）知要使在區間（0，+∞）上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＜1成立，
只需在區間（0，+∞）上f（x）_極小值＜1即可   （8分）
當a＞2時，f（x）_極小值=f（1）=2-

a

6

＜1，所以a＞6
當0＜a＜2時，f(x)極小值=f(

2

a

)  =1+

2(3a-2)

3a2

＜1恒成立，
所以0＜a＜

2

3

綜上所述，實數a的取值范圍為(0，

2

3

)∪(6，+∞)  （12分）

點評：本題考查函數的導數及其應用，求函數的極值，判斷函數取得極值的條件以及應用，利用導數研究含一個參數a的函數的單調區間問題，考查了分類討論思想．