Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據題意可得，分和兩種情形討論的符號可得單調性．（Ⅱ）令 ，可得，構造函數，結合導數可得，于是可得在上單調遞減，在上單調遞增，故，然后再證明，即可得，從而可得成立．

試題解析：

（Ⅰ）由題意得，

①當時，則在上恒成立，

∴在上單調遞減.

②當時，

則當時，單調遞增，

當時，單調遞減．

綜上：當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（Ⅱ）令 ，

則 ，

設，

則，

∵,

∴當時， 單調遞增；

當時， 單調遞減．

∴（因為），

∴.

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，

設，

則，

，在上遞減，

∴；

∴，故.

說明：判斷的符號時，還可以用以下方法判斷：

由得到，

設，則，

當時，；當時，.

從而在上遞減，在上遞增.

∴.

當時，，即.