Question

設函數f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數．
（1）當b＞

1

2

時，判斷函數f（x）在定義域上的單調性；
（2）若函數f（x）的有極值點，求b的取值范圍及f（x）的極值點；
（3）求證對任意不小于3的正整數n，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

都成立．

Answer 1

分析：（1）首先函數的定義域為（0，+∞），然后求出函數的導數f′（x），將f′（x）變形為

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

，再結合x＞0和b＞

1

2

得f′（x）＞0，可得函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增．
（2）方程f′(x)=

2x2-2x+b

x

=0在（0，+∞）有兩個不相等的實數根時，函數有極值．然后利用根的判別式算得當b＜

1

2

時，函數存在極值點，最后根據b≤0和0＜b＜

1

2

兩種情況分別得出函數的極值點；
（3）由（2）可知當b=-1時，函數f（x）=（x-1）²-lnx，利用其單調性，取自變量x=1+

1

n

，可以證出n≥3時有ln（n+1）-lnn＞

1

n2

成立，再設出函數h（x）=（x-1）-lnx，用類似的方法得出n≥3時ln(n+1)-lnn=ln

n+1

n

＜

1

n

ln(n+1)-lnn=ln(1+ 1 n )＜ 1 n

成立，兩者相結合可得對任意不小于3的正整數n，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

都成立．

解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

(x＞0)
∴當b＞

1

2

時，f'（x）＞0，函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增．
（2）①由（Ⅰ）得，當b＞

1

2

時，函數f（x）在定義域上無極值點．
②b=

1

2

時，f′(x)=

(2x-1)2

2x

=0有兩個相同的解x=

1

2

，
但當x∈（0，

1

2

）時，f'（x）＞0；
當x∈（

1

2

，+∞）時，f'（x）＞0，
∴當b=

1

2

時，函數f（x）在（-1，+∞）上無極值點．
③當b＜

1

2

時，f'（x）=0有兩個不同解，x1=

1

2

-

1-2b

2

，x2=

1

2

+

1-2b

2

∴（i）b≤0時，x1=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉（0，+∞），舍去，而x2=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈（0，+∞），
此時f'（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

由此表可知：∵b≤0時，f（x）有惟一極小值點，x=

1

2

+

1-2b

2

，
（ii）當0＜b＜

1

2

時，0＜x₁＜x₂＜1
此時，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：0＜b＜

1

2

時，f（x）有一個極大值x1=

1

2

-

1-2b

2

和一個極小值點x2=

1

2

+

1-2b

2

；
綜上所述：當且僅當b＜

1

2

時f（x）有極值點；
當b≤0時，f（x）有惟一最小值點，x=

1

2

+

1-2b

2

；
當0＜b＜

1

2

時，f（x）有一個極大值點x=

1

2

-

1-2b

2

和一個極小值點x=

1

2

+

1-2b

2

（3）由（2）可知當b=-1時，函數f（x）=（x-1）²-lnx，
此時f（x）有惟一極小值點x=

1

2

+

1-2b

2

=

1+ 3

2

且x∈(0，

1+ 3

2

)時，f'（x）＜0，f（x）在（0，

1+ 3

2

）為減函數
∵當n≥3時，0＜1＜1+

1

n

≤

4

3

＜

1+ 3

2

，
∴恒有f（1）＞f（1+

1

n

），即恒有0＞

1

n2

-ln(1+

1

n

)
∴當n≥3時恒有ln（n+1）-lnn＞

1

n2

成立
令函數h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）則h'（x）=1-

1

x

=

x-1

x

∴x＞1時，h'（x）＞0，又h（x）在x=1處連續
∴x∈[1，+∞）時h（x）為增函數
∵n≥3時1＜1+

1

n

∴h（1+

1

n

）＞h（1），即

1

n

-ln(1+

1

n

)＞0
∴ln（n+1）-lnn=ln（1+

1

n

）＜

1

n

綜上述可知n≥3時，恒有

1

n

＞ln（n+1）-lnn＞

1

n2

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性和含有字母參數的函數極值的討論，屬于難題．