Question

（2013•永州一模）已知函數f（x）=mlnx+

1

x

，（其中m為常數）
（1）試討論f（x）在區間（0，+∞）上的單調性；
（2）令函數h（x）=f（x）+

1

m

lnx-x．當m∈[2，+∞）時，曲線y=h（x）上總存在相異兩點P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得過P、Q點處的切線互相平行，求x₁+x₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，對m分類討論，利用導數的正負，即可得到f（x）在區間（0，+∞）上的單調性；
（2）利用過P、Q點處的切線互相平行，建立方程，結合基本不等式，再求最值，即可求x₁+x₂的取值范圍．

解答：解：（1）∵f′(x)=

m

x

-

1

x2

=

mx-1

x2

（x＞0）
∴m≤0時，f′（x）＜0，f（x）在區間（0，+∞）上是減函數；
m＞0時，f′（x）＞0可得x＞

1

m

，f′（x）＜0可得x＜

1

m

∴函數f（x）在（0，

1

m

）上是減函數，在（

1

m

，+∞）上是增函數；
（2）由題意，可得h′（x₁）=h′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）
即

m+ 1 m

x1

-

1

x12

-1=

m+ 1 m

x2

-

1

x22

-1 
∴x1+x2=(m+

1

m

)x1x2    
∵x₁≠x₂，由不等式性質可得x1x2＜(

x1+x2

2

)2恒成立，
又x₁，x₂，m＞0
∴x1+x2＜(m+

1

m

)(

x1+x2

2

)2
∴x1+x2＞

4

m+ 1 m

對m∈[2，+∞）恒成立
令g（m）=m+

1

m

（m≥2），則g′(m)=

(m+1)(m-1)

m2

＞0對m∈[2，+∞）恒成立
∴g（m）在[2，+∞）上單調遞增，∴g(m)≥g(2)=

5

2

             
∴

4

m+ 1 m

≤

4

g(2)

=

8

5

                                
∴x₁+x₂的取值范圍為（

8

5

，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．