Question

已知函數f(x)=log3

3 x

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為

1

2

的點P是M，N的中點．
（1）求證：y₁+y₂為定值；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)（n∈N^*，n≥2），求

lim

n→∞

4Sn-9Sn

4Sn+1+9Sn+1

的值；
（3）在（2）的條件下，若an=

1 6 ，n=1 1 4(Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

（n∈N^*），T_n為數列{a_n}的前n項和，若T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知P是MN的中點，有x₁+x₂=1，根據函數解析式，即可得y₁+y₂為定值；
（2）由（1）知當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1，根據Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)…+f(

n-1

n

)倒序相加，可得Sn=

n-1

2

，從而可求

lim

n→∞

4Sn-9Sn

4Sn+1+9Sn+1

的值；
（3）通項可化為an=

1

n+1

-

1

n+2

，從而可求得T_n，T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，等價于m＞

Tn

Sn+1+1

=

n

(n+2)2

恒成立，求出右邊的最大值，即可得到m的取值范圍．

解答：（1）證明：由已知P是MN的中點，有x₁+x₂=1，
∴y1+y2=log3

3 x1

1-x1

+log3

3 x2

1-x2

=log3

3x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=1…4分
（2）解：由（1）知當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1．
∵Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)…+f(

n-1

n

)①，Sn=f(

n-1

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)②
①+②得Sn=

n-1

2

…8分
∴

lim

n→∞

4Sn-9Sn

4Sn+1+9Sn+1

=

lim

n→∞

2n-1-3n-1

2n+3n

=-

1

3

…12分
（3）解：當n≥2時，an=

1

4× n+1 2 • n+2 2

=

1

n+1

-

1

n+2

．
又當n=1時，a1=

1

6

，所以an=

1

n+1

-

1

n+2

…14分
故Tn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

n

2(n+2)

…16分
∵T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，即m＞

Tn

Sn+1+1

=

n

(n+2)2

恒成立
又

n

(n+2)2

=

1

n+ 4 n +4

≤

1

8

，所以m的取值范圍是(

1

8

，+∞)…18分．

點評：本題考查數列與函數，數列與不等式的綜合，考查數列的極限，考查裂項法求和，考查恒成立問題，根據數列的特點，選擇正確的方法是關鍵．