Question

雙曲線的中心是原點O，它的虛軸長為2，相應的焦點F（c，0）（c＞0）的準線l與x軸交于點A，且|OF|=3|OA|.過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點.

（1）求雙曲線的方程及離心率；

（2）若=0，求直線PQ的方程.

Answer 1

解析：（1）由題意，設曲線的方程為=1(a＞0,b＞0)

由已知解得a=,c=3,

所以雙曲線的方程為=1離心率e=3;

（2）由（1）知A（1，0），F（3，0），當直線PQ與x軸垂直時，PQ方程為x=3.此時，≠0，應舍去.當直線PQ與x軸不垂直時，設直線PQ的方程為y=k(x-3).

由方程組得（k²-2）x²-6k²x+9k²+6=0

由于過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點，

則k²-2≠0，即k≠±，由于

Δ=36k⁴-4(k²-2)(9k²+6)=48(k²+1)＞0

∴k∈R且k≠±.（*）

設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

由直線PQ的方程得y₁=k(x₁-3)，y₂=k(x₂-3),

于是y₁y₂=k²(x₁-3)(x₂-3)=k²［x₁x₂-3(x₁+x₂)+9］.                     ③

∵=0，

∴（x₁-1,y₁）·（x₁-1，y₂）=0,

即x₁x₂-(x₁+x₂)+1+y₁y₂=0.                                                       ④

由①②③④得

+1+k²(-3+9)=0

整理得k²=，∴k=±滿足（*）.

∴直線PQ的方程為x-y-3=0或x+y-3=0.