Question

定理：若函數f（x）的圖象在區間[a，b]上連續，且在（a，b）內可導，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．應用上述定理證明：
（1）；     
（2）設，T_n為數列{b_n}的前n項和，求證：T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀
（3）設f（x）=xⁿ（n∈N^*）．若對任意的實數x，y，恒成立，求n所有可能的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f（x）=lnx，則，又，即可證得不等式；
（2）在中令n=1，2，3，…，2007，并將各式相加，即可得到結論；
（3）當n=1和2時，成立，當n≥3時，不妨設x=2，y=0，則已知條件化為：2^n-1=n，當n≥3時，2^n-1=（1+1）^n-1=C_n-1+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1≥2+C_n-1¹=n+1＞n，因此n≥3時方程2^n-1=n無解，則 當n≥3時，等式不恒成立，從而求出n的可能值．
解答：證明：（1）令f（x）=lnx，，x＜ξ＜y…（1分）
（注1：只要構造出函數f（x）=lnx即給1分）
故，又…（*）…（2分）
即…（3分）
（2）由條件可知則
在中令n=1，2，3，…，2007，并將各式相加得
即T₂₀₁₁-1＜ln2008＜T₂₀₁₀
（3）解：當n=1時，顯然成立．…（9分）
當n=2時，．…（10分）
下證當n≥3時，等式不恒成立．
不妨設x=2，y=0，則已知條件化為：2^n-1=n…（11分）
當n≥3時，2^n-1=（1+1）^n-1=C_n-1+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1≥2+C_n-1¹=n+1＞n…（13分）
因此n≥3時方程2^n-1=n無解．故n的所有可能值為1和2
點評：本題主要主要考查了數列與函數的綜合應用，同時考查了二項式定理和不等式的證明，屬于中檔題．