Question

已知C為圓(x+

2

)2+y2=12的圓心，點A(

2

，0)，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且

MQ

•

AP

=0，

AP

=2

AM

．
（1）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡E的方程．
（2）一直線l，原點到l的距離為

3

2

．（i）求證直線l與曲線E必有兩個交點．
（ii）若直線l與曲線E的兩個交點分別為G、H，求△OGH的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題設知，MQ⊥AP，QM是P的中垂線，|

QC

|+|

QA

|=|

QC

|+|

OP

|=|

CP

|=r=2

3

又|

AC

|=2

2

＜2

3

，
根據橢圓的定義，點Q軌跡是以C（-

2

，0），A（

2

，0）為焦點，長軸長為2

3

的橢圓，由此可知點Q的軌跡方程．
（2）（i）當直線l垂直x軸時，由題意知：l：x=±

3

2

，取x=

3

2

代入曲線E的方程得：y=±

3

2

，即G（

3

2

，

3

2

），H（

3

2

，-

3

2

）有兩個不同的交點，當直線l不垂直x軸時，設直線l的方程為：y=kx+b，由此入手可知直線l必與橢圓E交于兩點
（ii）當直線l垂直x軸時，CH=

3

S

△OGH

=

1

2

|GH|×

3

2

=

1

2

×

3

×

3

2

=

3

4

，當直線l不垂直x軸時，設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），再由根與系數的關系結合題設條件可求出△OGH的面積的最小值．

解答：解：（Ⅰ）圓(x+

2

)2+y2=12的圓心為C(-

2

，0)，半徑r=2

3

∵

MQ

•

AP

=0，

AP

=2

AM

，
∴MQ⊥AP，點M是AP的中點，即QM是P的中垂線，連接AQ，則|AQ|=|QP|
∴|

QC

|+|

QA

|=|

QC

|+|

OP

|=|

CP

|=r=2

3

又|

AC

|=2

2

＜2

3

，
根據橢圓的定義，點Q軌跡是以C（-

2

，0），A（

2

，0）為焦點，長軸長為2

3

的橢圓，
由c=

2

，a=

3

，得b2=1，因此點Q的軌跡方程為

x2

3

+y2=1．

（Ⅱ）（1）證明：當直線l垂直x軸時，由題意知：l：x=±

3

2

，
不妨取x=

3

2

代入曲線E的方程得：y=±

3

2

即G（

3

2

，

3

2

），H（

3

2

，-

3

2

）有兩個不同的交點，
當直線l不垂直x軸時，設直線l的方程為：y=kx+b
由題意知：

|b|

1+k2

=

3

2

，即b2=

3

4

(1+k2)
由

y=kx+b x3 3 +y2=1

消y得：(2+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0
∵△=36k²b²-4（1+3k²）（3b²-3）=12（3k²-b²+1）=27k²+3＞0
∴直線l與橢圓E交于兩點，綜上，直線l必與橢圓E交于兩點

（2）由（1）知當直線l垂直x軸時，CH=

3

S

△OGH

=

1

2

|GH|×

3

2

=

1

2

×

3

×

3

2

=

3

4

當直線l不垂直x軸時，設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由（1）知x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-3

1+3k2

|GH|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 36k2b2 (1+3k2)2 - 4(3b2-3) 1+3k2 ]

=

27k4+30k2+3 (1+3k2)2

=

3+ 12k2 9k2+6k2+1

=

3+ 12 9k2+ 1 k2 +6

≤

3+ 12 2×3+6

=2(k≠0)

當且僅當9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

，則取得“=”，
∴S△OGH=

1

2

×

3

2

|GH|≤

1

2

×

3

2

×2=

3

2

當k=0時，|GH|=

3

，S△OGH=

3

4

．
綜上，△OGH的面積的最小值為

3

2

．

點評：本題考查函數的直線與圓錐問題的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答．