Question

已知圓C的圓心在直線3x-y=0上且在第一象限，圓C與x軸相切，且被直線x-y=0截得的弦長為2

7

．
（1）求圓C的方程；
（2）若點P（x，y）是圓C上的點，滿足

3

x+y-m≤0恒成立，求m的取值范圍；
（3）將圓C向左移1個單位，再向下平移3個單位得到圓C₁，P為圓C₁上第一象限內的任意一點，過點P作圓C₁的切線l，且l交x軸于點A，交y軸于點B，設

OM

=

OA

+

OB

，求丨

OM

丨的最小值（O為坐標原點）．

Answer 1

（1）根據題意設圓心C（a，3a），a＞0，半徑為3a，
∵圓心到直線x-y=0的距離d=

|a-3a|

2

=2a，弦長為2

7

，半徑為3a，
∴2

7

=2

r2-d2

，即7a²=7，
解得：a=1，則圓C方程為（x-1）²+（y-3）²=9．
（2）根據圓C方程設x=1+cosα，y=3+sinα，
不等式

3

x+y-m≤0恒成立，即為m≥

3

x+y恒成立，
∵

3

x+y=

3

+3+

3

cosα+sinα=

3

+3+2sin（α+θ）的最大值為

3

+3+2=

3

+5，
則m滿足m≥

3

+5，故 m的取值范圍為[

3

+5，+∞）．
（3）由條件利用平移規律確定出圓C₁的方程為 （x-0）²+（y-0）²=9，
設點P的坐標為（x₀，y₀），則有x₀＞0，y₀＞0，且x02+y02=9，
故切線l的方程為 x₀•x+y₀•y=9，
由此可得點A（

9

x0

，0），點B的坐標為（0，

9

y0

），
∴

OM

=

OA

+

OB

=（

9

x0

，

9

y0

），