Question

（本題滿分14分）已知函數其中a>0,且a≠1，

（1）求函數的定義域；

（2）當0＜a＜1時，解關于x的不等式；

（3）當a＞1，且x∈[0，1)時，總有恒成立，求實數m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數f(x)的定義域為；（2）；（3）m≤0。

【解析】

試題分析：（1）由真數大于零，可得函數的定義域.

（2）由f(x)≥0得2log_a(x+1)≥log_a(1-x)，因為0<a<1,則對數函數是減函數，

所以.

(3) a＞1且x∈[0，1）時恒成立.

然后研究真數的取值范圍，再結合對數函數的單調性可求出的最小值，讓m小于等于其最小值即可.

（1）函數f(x)的定義域為………3分

   （2）由f(x)≥0得2log_a(x+1)≥log_a(1-x)

    ∵0＜a＜1 ∴……………………………………（8分）

   （3）由題意知：a＞1且x∈[0，1）時恒成立.……（9分）

    設，令t=1-x，t∈（0,1],∴……（10分）

設  

,

    ∴u(t)的最小值為1……………………………（12分）

    又∵a＞1，的最小值為0…………………（13分）

    ∴m的取值范圍是m≤0…………………………………（14分）

考點： 對數函數的定義域，解對數不等式，對數函數的性質，不等式恒成立，對數函數的最值.

點評：對數的真數大于零，就是求函數的定義域的依據之一；

利用對數函數的單調性求解不等式轉化為真數的大小關系；

不等式恒成立問題，在參數與變量分離的情況下可轉化為函數的最值問題來解.