Question

【題目】已知函數(shù)，若在處的切線方程為．

（I）求實數(shù)a，b的值；

（Ⅱ）證明，函數(shù)在x軸的上方無圖像；

（Ⅲ）確定實數(shù)k的取值范圍，使得存在，當(dāng)時，恒有．

Answer 1

【答案】（I）， （II）證明見解析 （Ⅲ）

【解析】

（I）由題意得，解方程即可得解；

（II）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后證明函數(shù)即可得證；

（III）由（II）知時不成立；當(dāng)時，由不等式的基本性質(zhì)可得不符合要求；當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)證明即可得解.

（I）由，則，

又切線方程為，令，則，

所以且，

，則那得：，.

（II）由（Ⅰ）知，

令，

則，

令得，（舍）．

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

所以當(dāng)時，取得最大值．

即．

所以函數(shù)在軸的上方無圖像．

（III）由（II）可知，

①當(dāng)時，，

所以不存在，當(dāng)時，恒有；

所以不符合題意．

②當(dāng)時，對于，，

所以不存在，當(dāng)時，恒有成立；

所以不符合題意．

③當(dāng)時，設(shè)．

因，

令，即．

因為，

解得，

令，則，單調(diào)遞增，

又因為，所以，．

取．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．

所以．即．

所以符合題意．

故實數(shù)k的取值范圍是．