【題目】一酒企為擴大生產規模，決定新建一個底面為長方形
的室內發酵館，發酵館內有一個無蓋長方體發酵池，其底面為長方形
(如圖所示)，其中
.結合現有的生產規模，設定修建的發酵池容積為450米
，深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，發酵池造價總費用不超過65400元
（1）求發酵池
邊長的范圍；
（2）在建發酵館時，發酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和
米的走道（為常數）.問:發酵池的邊長如何設計，可使得發酵館占地面積最小.
【答案】（1）
（2）當
時，
，
米時，發酵館的占地面積最小；當
時，
時，發酵館的占地面積最小；當
時，
米時，發酵館的占地面積最小.
【解析】
（1）設
米，總費用為
，解
即可得解；
（2）結合（1）可得占地面積
結合導函數分類討論即可求得最值.
（1）由題意知:矩形
面積
米
，
設米，則
米，由題意知:
，得
，
設總費用為
，
則
，
解得:
，又，故
，
所以發酵池
邊長的范圍是不小于15米，且不超過25米；
（2）設發酵館的占地面積為
由（1）知:
， 
①時，
，在
上遞增，則
，即米時，發酵館的占地面積最小；
②時，
，在上遞減，則
，即
米時，發酵館的占地面積最小；
③時，
時，
，遞減；
時，
遞增，
因此
，即時，發酵館的占地面積最小；
綜上所述：當時，，米時，發酵館的占地面積最小；當時，時，發酵館的占地面積最小；當時，米時，發酵館的占地面積最小.
全能測控期末小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，四點
、
、
、
中恰有三點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點
是橢圓的右頂點，作一條平行于
的直線
交橢圓于
、
兩點，記直線
和直線
的斜率分別為
、
，試判斷
是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】曲線
的參數方程為
（
為參數），以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
.
(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；
(2)若直線
與曲線，的交點分別為
、
（、異于原點），當斜率
時，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為慶祝新中國成立七十周年，巴蜀中學將舉行“歌唱祖國，喜迎國慶”歌詠比賽活動，《歌唱祖國》，《精忠報國》，《我和我的祖國》等一系列歌曲深受同學們的青睞，高二某班級就該班是否選擇《精忠報國》作為本班參賽曲目進行投票表決，投票情況如下表.
小組 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
贊成人數 | 4 | 5 | 6 | 6 | 5 | 6 | 4 | 3 |
總人數 | 7 | 7 | 8 | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 |
（1）若從第1小組和第8小組的同學中各隨機選取2人進行調查，求所選取的4人中至少有2人贊成《精忠報國》作為本班參賽曲目的概率；
（2）若從第5小組和第7小組的同學中各隨機選取2人進行調查，記選取的4人中不贊成《精忠報國》作為本班參賽曲目的人數為
，求隨機變量的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，N為CD的中點，M是AC上一點.
（1）若M為AC的中點，求證：AD//平面BMN；
（2）若
，平面
平面BCD,
，求直線AC與平面BMN所成的角的余弦值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設圓
的圓心為
，直線
過點
且與
軸不重合， 
交圓
于
兩點，過
作
的平行線交
于點
.
（1）證明
為定值，并寫出點
的軌跡方程；
（2）設
，過點
作直線
，交點
的軌跡于
兩點 (異于
),直線
的斜率分別為
，證明： 
為定值.
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