Question

【題目】某藝術品公司欲生產一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內接圓錐組成，圓錐的側面用于藝術裝飾，如圖1.為了便于設計，可將該禮品看成是由圓O及其內接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉而成，如圖2.已知圓O的半徑為，設，，圓錐的側面積為（S圓錐的側面積（R-底面圓半徑，I-母線長））

（1）求S關于的函數關系式；

（2）為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側面積S最大.求S取得最大值時腰的長度

Answer 1

【答案】（1），（）；（2）

【解析】

（1）根據題意，設交于點，過作，垂足為，分析可得，，由圓錐的側面積公式可得的表達式，即可得答案；

（2）由（1）可得的表達式可得，設，，求導求出其在區間上的最大值，求出的值，即可得當，即時，側面積取得最大值，計算即可得答案．

解：（1）根據題意，設交于點D，過O作，垂足為E，

在中，，，

在中，，

所以，（）.

（2）由（1）得：，

設，（），

則，令，可得，

當時，，函數在區間上單調遞增，

當時，，函數在區間上單調遞減，

所以在時取得極大值，也是最大值；

所以當，即時，側面積S取得最大值，

此時等腰三角形的腰長；

答：側面積S取得最大值時，等腰三角形的腰的長度為.