Question

【題目】知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函數f（x）在區間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切實數x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）證明對一切x∈（0，+∞），lnx＞ 恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+1，

當x∈（0， ），f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x∈（ ，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

①0＜t＜t+2＜ ，t無解；

②0＜t＜ ＜t+2，即0＜t＜ 時，f（x）min=f（ ）=﹣ ；

③ ≤t＜t+2，即t≥ 時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，f（x）min=f（t）=tlnt；

則f（x）min= ；

（2）解：2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，則a≤2lnx+x+ ，

設h（x）=2lnx+x+ （x＞0），則h′（x）= ，x∈（0，1），

當h′（x）＜0，h（x）單調遞增，x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）單調遞減，

則h（x）min=h（1）=4，

∵對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，

∴a≤h（x）min=4；

（3）證明：問題等價于證明xlnx＞ ﹣ （x∈（0，+∞）），

由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是﹣ ，當且僅當x= 時取到，

設m（x）= ﹣ （x∈（0，+∞）），

則m′（x）= ，易得m（x）max=m（1）=﹣ ，當且僅當x=1時取到，

則對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞ ﹣ 成立．

【解析】（1）求出f（x）的導函數，利用導函數的性質得到導函數小于0時，函數單調遞減；導函數大于0時，函數單調遞增，進而確定出f（x）的最小值；（2）把f（x）與g（x）解析式代入已知不等式，整理后設h（x）=2lnx+x+ （x＞0），求出h（x）的導函數，根據導函數的正負判斷其增減性，進而求出h（x）的最小值，即可確定出a的范圍；（3）所證不等式兩邊乘以x，左邊為f（x），右邊設為m（x）= ﹣ （x∈（0，+∞）），求出左邊的最小值，以及右邊的最大值，比較即可得證．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．