Question

數列{

1

n(n+1)

}的前n項和Sn=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

，研究一下，能否找到求S_n的一個公式．你能對這個問題作一些推廣嗎？

Answer 1

分析：利用裂項法求出

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后進行求和即可．

解答：解：數列{

1

n(n+1)

}的通項公式為a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
類似地，我們可以求出通項公式為an=

1

n(n+k)

=

1

k

(

1

n

-

1

n+k

)的數列的前n項和．

點評：本題主要考查數列求和的知識，利用裂項法是解決本題的關鍵，要求掌握常見數列求和的幾種基本方法．