【題目】一個正方形被剖分為4個正方形，剖分圖的邊數(shù)為12.若一個正方形被剖分為2005個凸多邊形，試求剖分圖中邊數(shù)的最大值.
【答案】正方形剖分為2005個凸多邊形時，邊的最大值為6016.
【解析】
由歐拉定理可知，簡單多面體的頂點數(shù)
、面數(shù)
、棱數(shù)
有如下關(guān)系：
.
由歐拉定理容易看出，若一個凸多邊形被剖分為
個凸多邊形，則剖分圖中的頂點數(shù)、多邊形數(shù)、邊數(shù)滿足
. ①
下面在一般的情況下，即正方形被剖分為個凸多邊形時，求剖分圖中邊數(shù)的最大值.設(shè)剖分圖中的頂點數(shù)為、多邊形數(shù)為、邊數(shù)為.
（1）先求邊數(shù)的上界.
設(shè)原正方形的4個頂點是
、
、
、
.若凸多邊形的頂點
，則易知
（這里用
表示過頂點
的邊數(shù)）.
故
.
注意到這樣的頂點有
個，于是，有個上面的不等式.將它們相加求和，并注意到除去正方形四邊的每條邊恰是兩個凸多邊形的邊，有
.
即
.
因為
，
，
，
.
則
. ②
由式①有
.
將式②代入式③，并整理得
，即
.
（2）構(gòu)造例子，使邊數(shù)
.
如圖，過正方形的一邊相繼作
條鄰邊的平行線，正方形被剖分為個矩形，易知，邊數(shù)
.
綜上所述，剖分圖中邊數(shù)的最大值為
.
所以，正方形剖分為2005個凸多邊形時，邊的最大值為6016.
| 年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
| 高一 | 高一免費(fèi)課程推薦！ | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦！ |
| 高二 | 高二免費(fèi)課程推薦！ | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦！ |
| 高三 | 高三免費(fèi)課程推薦！ | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦！ |
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，短軸長為
．
（1）求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓的左焦點為
，過點的直線
與橢圓交于
兩點，則在
軸上是否存在一個定點
使得直線
的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，也請說明理由．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知△
的三個內(nèi)角
、
、
所對應(yīng)的邊分別為
、
、
，復(fù)數(shù)
，
，（其中
是虛數(shù)單位），且
.
（1）求證：
，并求邊長的值；
（2）判斷△的形狀，并求當(dāng)
時，角的大小.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝
，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，點M、E分別是PA、PD的中點
(1)求證：CE//平面BMD
(2)點Q為線段BP中點，求直線PA與平面CEQ所成角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
，在
處的切線方程為
.
（1）求
， 
；
（2）若
，證明： 
.
【答案】（1）
， 
；（2）見解析
【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于
的方程組，解出即可；
（2）由（1）可知
， 
，
由
，可得
，令
， 利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得
，
從而證明
.
試題解析：（（1）由題意
，所以
，
又
，所以
，
若
，則
，與
矛盾，故
， 
.
（2）由（1）可知
， 
，
由
，可得
，
令
，
，
令
當(dāng)
時， 
， 
單調(diào)遞減，且
；
當(dāng)
時， 
， 
單調(diào)遞增；且
，
所以
在
上當(dāng)單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，且
，
故
，
故
.
【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
， 
為參數(shù)），以坐標(biāo)原點
為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線
的極坐標(biāo)方程為
，若直線
與曲線
相切；
（1）求曲線
的極坐標(biāo)方程；
（2）在曲線
上取兩點
， 
與原點
構(gòu)成
，且滿足
，求面積
的最大值.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠共有男女員工500人，現(xiàn)從中抽取100位員工對他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)統(tǒng)計如下：
每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)（單位：百件） |
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 10 | 45 | 35 | 6 | 4 |
男員工人數(shù) | 7 | 23 | 18 | 1 | 1 |
（1）其中每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)不少于3200件的員工被評為“生產(chǎn)能手”.由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面
列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān)？
非“生產(chǎn)能手” | “生產(chǎn)能手” | 合計 | |
男員工 | |||
span>女員工 | |||
合計 |
（2）為提高員工勞動的積極性，工廠實行累進(jìn)計件工資制：規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)在定額2600件以內(nèi)的，計件單價為1元；超出
件的部分，累進(jìn)計件單價為1.2元；超出
件的部分，累進(jìn)計件單價為1.3元；超出400件以上的部分，累進(jìn)計件單價為1.4元.將這4段中各段的頻率視為相應(yīng)的概率，在該廠男員工中選取1人，女員工中隨機(jī)選取2人進(jìn)行工資調(diào)查，設(shè)實得計件工資（實得計件工資=定額計件工資+超定額計件工資）不少于3100元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：
，
.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】給出下列四個命題：
①函數(shù)
與函數(shù)
表示同一個函數(shù)；
②奇函數(shù)的圖象一定通過直角坐標(biāo)系的原點；
③函數(shù)
的圖象可由
的圖象向右平移1個單位得到；
④若函數(shù)
的定義域為
，則函數(shù)
的定義域為
；
⑤設(shè)函數(shù)是在區(qū)間
上圖象連續(xù)的函數(shù)，且
，則方程
在區(qū)間上至少有一實根．
其中正確命題的序號是________．（填上所有正確命題的序號）
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】《中華人民共和國民法總則》（以下簡稱《民法總則》）自2017年10月1日起施行.作為民法典的開篇之作，《民法總則》與每個人的一生息息相關(guān).某地區(qū)為了調(diào)研本地區(qū)人們對該法律的了解情況，隨機(jī)抽取50人，他們的年齡都在區(qū)間
上，年齡的頻率分布及了解《民法總則》的入數(shù)如下表：
年齡 |
|
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 5 | 5 | 10 | 15 | 5 | 10 |
了解《民法總則》 | 1 | 2 | 8 | 12 | 4 | 5 |
（1）填寫下面
列聯(lián)表，并判斷是否有
的把握認(rèn)為以45歲為分界點對了解《民法總則》政策有差異；
年齡低于45歲的人數(shù) | 年齡不低于45歲的人數(shù) | 合計 | |
了解 |
|
| |
不了解 |
|
| |
合計 |
（2）若對年齡在
，
的被調(diào)研人中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行深入調(diào)研，記選中的4人中不了解《民法總則》的人數(shù)為
，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式和數(shù)據(jù)：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
查看答案和解析>>
國際學(xué)校優(yōu)選 - 練習(xí)冊列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
