Question

如圖，在半徑為l的球O中．AB、CD是兩條互相垂直的直徑，半徑OP⊥平面ACBD．點E、F分別為大圓上的劣弧

BP

、

AC

的中點，給出下列結論：
①E、F兩點的球面距離為

2

3

π；
②向量

.

OE

在向量

.

OB

方向上的投影恰為

1

2

；
③若點M為大圓上的劣弧

AD

的中點，則過點M且與直線EF、PC成等角的直線有無數(shù)條；
④球面上到E、F兩點等距離的點的軌跡是兩個點；
其中你認為正確的所有結論的序號為

 

．

Answer 1

分析：先建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出坐標E（0，

2

2

，

2

2

），F(xiàn)（

2

2

，-

2

2

，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）再一一驗證即可．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則E（0，

2

2

，

2

2

），F(xiàn)（

2

2

，-

2

2

，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）①cos∠EOF=cos∠EOBcos∠COB=cos45°cos（90°+45°）=-

2

2

×

2

2

=-

1

2

∴∠EOF=

2π

3

，對；
②向量

OE

在向量

OB

方向上的投影為

2

2

，錯；
③由于等角的值不是一定值，因此將直線EF、PC都平移到點M，可知過點M且與直線EF、PC成等角的直線有無數(shù)多條，對；
④過點EF的中點及球心O的大圓上任意點到點E、F的距離都相等，錯；
故答案為①③

點評：本題主要考查了球的性質、球面距離及相關計算，解答的關鍵是建立適當?shù)目臻g坐標系寫出點的坐標后利用空間坐標進行計算．