Question

（本小題滿分14分）

   已知橢圓C₁： (a>b>0)的離心率為，直線：＋2＝0與以原點為圓心、以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切。

  （1）求橢圓C₁的方程；

  （2)設橢圓C₁的左焦點為F ₁，右焦點F₂,直線過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直直線于點P，線段PF₂的垂直平分線交于點M,求點M的軌跡C₂的方程；

  （3）若A(x₁，2)、B(x₂ ，Y₂)、C(x₀，y₀)是C₂上不同的點，且AB⊥ BC，求Y_o的取值范圍。

Answer 1

解：（1）所以，，所以，2a²＝3b²，．．．．．．．2分，

直線l：x一y＋2＝0與圓直線l：x一y＋2＝0與x²＋y²＝b²相切，

所以，＝b，所以，b＝，b²＝2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分，

a²＝2，所以，橢圓C₁的方程是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分，

（2）因為｜MP｜＝｜MF₂｜，

所以，動點M到定直線：x＝－1的距離等于它到定點F₂（1,0）的距離

所以，動點M的軌跡是以為準線，F₂為焦點的拋物線，

＝1，所以點M的軌跡C₂的方程為y²＝4x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分。

（3）由（1）知A（1,2），

又AB⊥ BC，所以，＝0，

整理，得：y₂²＋（y₀＋2）y₂＋16＋2y₀＝0，．．．．．．．．．．．．．12分

此方程有解，

所以∆＝（y₀＋2）²－4（16＋2y₀）≥0，解得：y₀≤－6或y₀≥10，

當y₀＝－6時，B（4,2），C（9，－6），故符合條件，

當y₀＝10時，B（9,－6），C（25，10），故符合條件，

所以，點C的縱坐標y₀的取值范圍是（－，－6）∪［10，＋）．．．．．．．．．．．．．14分。