Question

已知雙曲線C的中心在坐標原點O，兩條準線的距離為，其中一個焦點恰與拋物線x ² + 10 x 4 y + 21 = 0的焦點重合。

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若P為C上任意一點，A為雙曲線的右頂點，通過P、O的直線與從A所引平行于漸近線的直線分別交于Q、R。試證明：| OP |是| OQ |與| OR |的等比中項。

Answer 1

解析：（1）由x ² + 10 x 4 y + 21 = 0，得 ( x + 5 ) ² = 4 ( y + 1 )，焦點為 ( 5，0 )，∴ c = 5，

又=，∴ a ² = 16，a = 4，b = 3，∴ 雙曲線C的方程為：= 1；

（2）∵ A ( 4，0 )，∴ 從A所引平行于漸近線的直線分別

為y = ±( x 4 )，設P ( x ₀，y ₀ )，則9 x 16 y= 144，OP：y =x，

得Q(x ₀，y ₀ )，R(x ₀，y ₀ )，則| OQ | ∙ | OR |

==( x+ y) = x+ y= | OP | ²，

∴ | OP |是| OQ |與| OR |的等比中項。