Question

已知函數f(x)=log3

3 x

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為

1

2

的點P滿足2

OP

=

OM

+

ON

（O為坐標原點）．
（1）求證：y₁+y₂為定值；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*，n≥2令an=

1 6 ，n=1 1 4(Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

，其中n∈N^*，T_n為數列{a_n}的前n項和，若T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，試求m的取值范圍．
（3）對于給定的實數a（a＞1）是否存在這樣的數列{a_n}，使得f(an)=log3(

3

an+1)，且a1=

1

a-1

？若存在，求出a滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P點坐標為(

1

2

，yP)，由已知的向量關系得出x₁+x₂=1，利用對數運算即可求得y₁+y₂為定值；
（2）由（1）知當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1．得出Sn=

n-1

2

，下面對n進行分類討論：當n≥2時，當n=1時，得到：an=

1

n+1

-

1

n+2

(n∈N*)再利用數列求和得出Tn，結合T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立結合基本不等式即可求得m的取值范圍；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在數列{a_n}滿足條件，再利用等差數列的性質，求出a_n的長，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）設P點坐標為(

1

2

，yP)，由已知可得，

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)則(

1

2

，yP)=

1

2

(x1+x2，y1+y2)，
∴x₁+x₂=1y1+y2=log3

3 x1

1-x1

+log3

3 x2

1-x2

=log3

3x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=log3

3x1x2

1-1+x1x2

=1
（2）由（1）知當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1.Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)…+f(

n-1

n

)，①Sn=f(

n-1

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)，②，
∴2S_n=n-1，故Sn=

n-1

2

當n≥2時，an=

1

4× n+1 2 × n+2 2

=

1

n+1

-

1

n+2

．
又當n=1時，a1=

1

6

=

1

2

-

1

3

，所以an=

1

n+1

-

1

n+2

(n∈N*)
故Tn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

n

2(n+2)

∵T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立．
∴m＞

Tn

Sn+1+1

=

n

(n+2)2

=

1

n+ 4 n +4

，而n+

4

n

+4≥8（當且僅當n=2時等號成立）
∴m＞

1

8

，即m的取值范圍是(

1

8

，+∞)
（3）假設存在數列{a_n}滿足條件，則log3(

3

an+1)=log3

3 an

1-an

，
即an+1=

an

1-an

⇒

1

an+1

=

1

an

-1，∴{

1

an

}是以

1

a1

=a-1為首項，-1為公差的等差數列，
于是

1

an

=a-1+(n-1)×(-1)=a-n，∴an=

1

a-n

，注意到an=

1

a-n

∈(0，1)
∴當a＞3時，存在這樣的有窮數列{a_n}；當1＜a≤3時，不存在這樣的數列．

點評：本小題主要考查等差數列的應用、數列與不等式的綜合、數列的求和等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．