Question

【題目】設函數，且（其中e是自然對數的底數）．

（Ⅰ）若，求的單調區間；

（Ⅱ）若，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增區間為，減區間為；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）當時，令，對求導分析出其單調性，從而分析出函數值的符號，得到的單調區間.
（Ⅱ）對求導討論其單調性，分析其最小值，證明其最小值大于0即可.

（Ⅰ）由可得，，又，∴，，，

令，，

當時，，在單調增函數，又.

∴當時，，，當時，；，

∴的單調增區間為，減區間為

（Ⅱ）當時，，符合題意.

方法（一）當時，

令，又，

∴在唯一的零點，設為，有

且，，單調遞減；，，單調遞增

∴∵，∴，兩邊取對數，

∴

（當且僅當時到等號）

設，∴，

當時，，當時，；

又，且，，趨向0時，；

∴當，，當且僅當時取等號

由（1）可知，當時，，故當時，，，∴

綜上，當時，

方法（二）

當時，（i）當時

，，顯然成立；

（ii）當時，構造函數

，在為減函數，∴，∴

∴，∴

∴

又由，可得，進而

綜上：當時，