Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的極值；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，總有，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）極大值是，無(wú)極小值；（2）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，可求得，令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點(diǎn)，從而可得原函數(shù)的極值點(diǎn)及極大值；

（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，從而可得△及，由，得．則可化為對(duì)任意的恒成立，按照、、三種情況分類(lèi)討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決；

（1）當(dāng)時(shí)，.

令，則，顯然在上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>，故時(shí)，總有，所以在上單調(diào)遞減.

由于，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

	+		-
	增	極大	減

所以在上的極大值是，無(wú)極小值.

（2）由于，則.由題意，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則，解得，且，又，所以.

由，，可得

又.將其代入上式得：.

整理得，即

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即.

當(dāng)時(shí)，恒成立，即，令，易證是上的減函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，，故.

當(dāng)時(shí)，恒成立，即，

因此，當(dāng)時(shí)，所以.

綜上所述，.