Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)．

（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）的取值范圍為．（3）當(dāng)時(shí)，有最大值0.

【解析】(1)根據(jù)建立關(guān)于a的方程求出a的值.

(2)本小題實(shí)質(zhì)是在區(qū)間上恒成立，

進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立,

然后再討論a=0和兩種情況研究.

(2) 時(shí)，方程可化為，,

問題轉(zhuǎn)化為在上有解，

即求函數(shù)的值域,然后再利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)區(qū)間極值最值，從而求出值域，問題得解.

解：（1）．………1分

    因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633452226540466_DA.files/image019.png">為的極值點(diǎn)，所以．………………………2分

    即，解得．…………………………………3分

    又當(dāng)時(shí)，，從而的極值點(diǎn)成立．…………4分

（2）因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633452226540466_DA.files/image020.png">在區(qū)間上為增函數(shù)，

    所以在區(qū)間上恒成立．…5分

    ①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以上為增函數(shù)，故

符合題意．…………………………6分

②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，

所以上恒成立．……………7分

    令，其對稱軸為，……………8分

    因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633452226540466_DA.files/image035.png">所以，從而上恒成立，只要即可，

因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633452226540466_DA.files/image039.png">，     

解得． u……………………………………9分

因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633452226540466_DA.files/image035.png">，所以．

綜上所述，的取值范圍為．…………………………………10分

（3）若時(shí)，方程可化為，．

    問題轉(zhuǎn)化為在上有解，

    即求函數(shù)的值域．……………………11分

以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：

方法1：因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633452226540466_DA.files/image045.png">，令，

    則                    ，…………………………………12分

    所以當(dāng)，從而上為增函數(shù)，

    當(dāng)，從而上為減函數(shù)，………………………13分

    因此．

    而，故，

    因此當(dāng)時(shí)，取得最大值0．…………………………………………14分

方法2：因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633452226540466_DA.files/image045.png">，所以．

設(shè)，則．

    當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

    當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

    因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633452226540466_DA.files/image065.png">，故必有，又，

    因此必存在實(shí)數(shù)使得，

    ，所以上單調(diào)遞減；

      當(dāng)，所以上單調(diào)遞增；

      當(dāng)上單調(diào)遞減；

    又因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916322208205071/SYS201211191633452226540466_DA.files/image075.png">，

    當(dāng)，則，又．

    因此當(dāng)時(shí)，取得最大值0.……………………………14分