Question

某種項目的射擊比賽，開始時選手在距離目標100m處射擊，若命中則記3分，且停止射擊．若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但需在距離目標150m處，這時命中目標記2分，且停止射擊．若第二次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時需在距離目標200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊．若三次都未命中則記0分，并停止射擊．已知選手甲的命中率與目標的距離的平方成反比，他在100m處擊中目標的概率為

1

2

，且各次射擊都相互獨立．
（Ⅰ）求選手甲在三次射擊中命中目標的概率；
（Ⅱ）設選手甲在比賽中的得分為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）記選手甲第一、二、三次射擊命中目標分別為事A、B、C，三次均未擊中目標為事件D，設選手甲在x處擊中目標的概率為P（x），則P(x)=

x

k2

．當x=100時求出k的值，再有獨立事件同時發生的概率公式即可求得；
（II）由于ξ表示選手甲在比賽中的得分，根據題意則ξ的可取值0，1，2，3，利用隨機變量的定義求出每一個對應值下的事件的概率，并列出分布列，利用期望公式求期望．

解答：解：記選手甲第一、二、三次射擊命中目標分別為事A、B、C，三次均未擊中目標為事件D，
則P(A)=

1

2

．
設選手甲在x處擊中目標的概率為P（x），則p（x）=

k

x2

．x=100時P（A）=

1

2

，
得

k

1002

=

1

2

，∴k=5000，P(x)=

5000

x2

．
∴P(B)=

2

9

，P(C)=

1

8

，P(D)=P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

，
（Ⅰ）由于各次射擊都是相互獨立的，所以選手甲在三次射擊中擊中目標的概率為P=P(A)+P(

.

A

•B)+P(

.

A

•

.

B

•C)=

95

144

，
（Ⅱ）由題設知，ξ的可取值0，1，2，3，
P(ξ=3)=

1

2

，P(ξ=2)=

1

2

×

2

9

=

1

9

，P(ξ=1)=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

，P(ξ=0)=

49

144

．
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	49 144	7 144	1 9	1 2

數學期望為Eξ=

85

48

．

點評：此題考查了學生對于題意的準確理解能力及邏輯思維能力，重點考查了相互獨立事件同時發生的概率公式及離散型隨機變量的分布列并利用分布列求其期望．