Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n且﹣2S_n﹣a_nS_n+1=0，n=1，2，3…

（1）求a₁，a₂

（2）求S_n與S_n﹣1（n≥2）的關系式，并證明數列{}是等差數列．

（3）求S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值．

Answer 1

考點：

等差關系的確定；數列的求和；數列遞推式．

專題：

計算題；等差數列與等比數列．

分析：

（1）對已知等式分別取n=1、n=2，解關于a₁、a₂的方程，即可得到a₁，a₂的值．

（2）將a_n=S_n﹣S_n﹣1代入已知等式，化簡整理得到S_n=，代入并整理得到=﹣1+，由此即可得到數列{}是以﹣2為首項，公差等于﹣1的等差數列．

（3）由（2）結合等差數列的通項公式，可得S_n=，再分別取n=1、2、3、…、2011代入題中的式子，化簡即可得到S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值

解答：

解：（1）∵S_n²﹣2S_n﹣a_nS_n+1=0，

∴取n=1，得S₁²﹣2S₁﹣a₁S₁+1=0，即a₁²﹣2a₁﹣a₁²+1=0，解之得a₁=，

取n=2，得S₂²﹣2S₂﹣a₂S₂+1=0，即（+a₂）²﹣2（+a₂）﹣a₂（+a_2）+1=0，解之得a₂=

（2）由題設S_n²﹣2S_n﹣a_nS_n+1=0，

當n≥2時，a_n=S_n﹣S_n﹣1，代入上式，化簡得S_nS_n﹣1﹣2S_n+1=0

∴S_n=，可得S_n﹣1﹣1=﹣1=

∴==﹣1+

∴數列{}是以=﹣2為首項，公差d=﹣1的等差數列．

（3）由（2）得=﹣2+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n﹣1，

可得S_n=1﹣=

∴S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁=×××…××=

即S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值為．

點評：

本題給出數列{a_n}的前n項和S_n與a_n的關系式，求通項公式并證明新的等差數列，著重考查了等差數列的通項公式、數列前n項和S_n與a_n的關系等知識，屬于中檔題．