Question

已知向量

a

=（sinθ，1），

b

=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若

a

⊥

b

，求θ；
（Ⅱ）若

a

•

b

=

1

5

，求tan(2θ+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量垂直的充要條件：數量積等于0，列出方程，解三角方程求出角．
（II）利用向量的數量積公式得到三角方程sinθ-cosθ=

1

5

，利用三角函數的平方關系求出sinθ+cosθ；解方程組求出正弦、余弦，進而得到正切；利用二倍角公式及和角公式求出值．

解答：解：（I）∵

a

⊥

b

∴sinθ-cosθ=0即tanθ=1
∵θ∈（0，π）
∴θ=

π

4

（II）由sinθ-cosθ=

1

5

平方得2sinθcosθ=

24

25

∴(sinθ+cosθ)2=

49

25

∴sinθ+cosθ=

7

5

得sinθ=

4

5

，cosθ=

3

5

，tanθ=

4

3

，tan2θ=-

24

7

得tan(2θ+

π

4

)=-

17

31

．

點評：本題考查向量垂直的充要條件、三角函數的平方關系、二倍角的正切公式及和角的正切公式．