Question

【題目】如圖①：在平行四邊形中,,,將沿對角線折起,使,連結,得到如圖②所示三棱錐.

（1）證明：平面；

（2）若,二面角的平面角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）證明,從而證明平面,進而得出,即可證平面.最后證得平面.

（2）若,二面角的平面角的正切值為,由（1）知平面,

因為平面,所以,

又,所以即為二面角的平面角,得,從而求出,,建立空間直角坐標系,求平面的法向量為,

最后根據公式,即得直線與平面所成角大小.

（1）證明：在平行四邊形中,,

則.

在三棱錐中,因為,.

所以平面,所以.

又,,所以平面.

又平面,所以.

因為,,所以平面.

（2）解：由（1）知平面,

因為平面,所以,

又,所以即為二面角的平面角,即.

因為平面,平面.

所以,故,

又.所以.

在平行四邊形,,,

所以與為相似三角形,則,

故（）,解得,

故,解得,

所以,.

過點作,以為坐標原點,,,的方向為軸、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標系,如圖所示.

則,,,.

所以,,.

設平面的法向量為,

則

令,得.

設直線與平面所成角為,

即直線與平面所成角為.