Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界，已知函數f（x）=1+x+ax²
（1）當a=-1時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域，判斷函數f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數，并說明理由；
（2）若函數f（x）在x∈[1，4]上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=-1時，函數表達式為f（x）=1+x-x²，可得f（x）在（-∞，0）上是單調增函數，它的值域為（-∞，1），從而|f（x）|的取值范圍是[0，+∞），因此不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（-∞，0）上的有界函數．
（2）函數f（x）在x∈[1，4]上是以3為上界的有界函數，即-3≤f（x）≤3在[1，4]上恒成立，代入函數表達式并化簡整理，得-

4

x2

-

1

x

≤a≤

2

x2

-

1

x

在[1，4]上恒成立，接下來利用換元法結合二次函數在閉區間上最值的求法，得到（-

4

x2

-

1

x

）_max=-

1

2

，（

2

x2

-

1

x

）_min=-

1

8

，所以，實數a的取值范圍是[-

1

2

，-

1

8

]．

解答：解：（1）當a=-1時，函數f（x）=1+x-x²=-（x-

1

2

）²+

5

4

∴f（x）在（-∞，0）上是單調增函數，f（x）＜f（0）=1
∴f（x）在（-∞，0）上的值域為（-∞，1）
因此|f（x）|的取值范圍是[0，+∞）
∴不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（-∞，0）上的有界函數．
（2）若函數f（x）在x∈[1，4]上是以3為上界的有界函數，
則|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即-3≤f（x）≤3
∴-3≤ax²+x+1≤3
∴

-x-4

x2

≤a≤

-x+2

x2

，即-

4

x2

-

1

x

≤a≤

2

x2

-

1

x

在[1，4]上恒成立，
∴（-

4

x2

-

1

x

）_max≤a≤（

2

x2

-

1

x

）_min，
令t=

1

x

，則t∈[

1

4

，1]
設g（t）=-4t²-t=-4（t+

1

8

）²+

1

16

，則當t=

1

4

時，g（t）的最大值為-

1

2

再設h（t）=2t²-t=2（t-

1

4

）²-

1

8

，則當t=

1

4

時，h（t）的最小值為-

1

8

∴（-

4

x2

-

1

x

）_max=-

1

2

，（

2

x2

-

1

x

）_min=-

1

8

所以，實數a的取值范圍是[-

1

2

，-

1

8

]．

點評：本題以一個特定的二次函數在閉區間上有界的問題為例，考查了函數單調性的性質和二次函數在閉區間上值域等知識點，屬于中檔題．請同學們注意解題過程中變量分離和換元法求值域的思想，并學會運用．