Question

如圖，已知|

EF

|=2c，|

FG

|=2a(a＞c＞0)，且2

EH

=

EG

，2

EO

=

EF

，

HP

•

EG

=0（G為動點）．
（1）建立適當的平面直角坐標系，寫出點P的軌跡方程；
（2）若點P的軌跡上存在兩個不同的點A，B，且線段AB的中垂線與EF（或EF的延長線）相交于一點C，求證：|

OC

|＜

c2

a

；
（3）若a

OF

=c

OM

且點P的軌跡上存在點Q使得

OQ

•

QM

=0，求點P的軌跡的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）以EF所在的直線為x軸，EF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，利用向量的數量積可得|

PF

|+|

PE

|=|

PG

|=2a，從而可得點P的軌跡是以E、F為焦點，長軸長為2a的橢圓，即可求軌跡方程；
（2）設出C的坐標，確定橫坐標的范圍，即可證得結論；
（3）設OQ所在直線為所在直線，與橢圓方程聯立，利用

OQ

•

QM

=0，即可求點P的軌跡的離心率e的取值范圍．

解答：（1）解：如圖，以EF所在的直線為x軸，EF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系．（1分）
由題設2

EH

=

EG

，

HP

•

GE

=0，
∴|

PG

|=|

PE

|，而|

PF

|+|

PE

|=|

PG

|=2a，
∴點P的軌跡是以E、F為焦點，長軸長為2a的橢圓，
故點P的軌跡方程是：

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1．（4分）
（2）證明：如圖，設A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），C （x₀，0），
∴x₁≠x₂，且|

CA

|=|

CB

|，即（x₁-x₀）²+

y

2 1

=（x₂-x₀）²+

y

2 2

．①
又A、B在軌跡上，∴

x 2 1

a2

+

y 2 1

a2-c2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

a2-c2

=1，
即

y

2 1

=a2-c2-

a2-c2

a2

x

2 1

，

y

2 2

=a2-c2-

a2-c2

a2

x

2 2

，（6分）
代入①整理得：2（x₂-x₁）•x₀=

c2

a2

（

x

2 2

-

x

2 1

），（8分）
∵x₁≠x₂，∴x₀=

c2(x1+x2)

2a2

．（8分）
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，∴-2a≤x₁+x₂≤2a．
∵x₁≠x₂，∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴-

c2

a

＜x0＜

c2

a

，即|

OC

|＜

c2

a

．（9分）
（3）解：由a

OF

=c

OM

，即點M為橢圓的右頂點，由

OQ

•

QM

=0知直線OQ斜率必存在，
設OQ所在直線為所在直線為y=kx，
由

y=kx x2 a2 + y2 a2-c2 =1

，解得

x= ab a2k2+b2 y= abk a2k2+b2

（其中b²=a²-c²）     （11分）
∴

OQ

=(

ab

a2k2+b2

，

abk

a2k2+b2

)

QM

=(a-

ab

a2k2+b2

，

-abk

a2k2+b2

)
由

OQ

•

QM

=0得

ab

a2k2+b2

•(a-

ab

a2k2+b2

)-

a2b2k2

a2k2+b2

=0
化簡得a=（1+k²）•

ab

a2k2+b2

，（12分）
∴a²k²+b²=b²（1+k²）²
∴a²=2b²+b²k²≥2b²=2（a²-c²），
∴a²≤2c²，即

2

2

≤e＜1
故離心率e的取值范圍是[

2

2

，1）（14分）

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查橢圓的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．