Question

【題目】已知函數f（x）＝（x﹣a）cosx﹣sinx，g（x）x3ax2，a∈R

（1）當a＝1時，求函數y＝f（x）在區間（0，）上零點的個數；

（2）令F（x）＝f（x）+g（x），試討論函數y＝F（x）極值點的個數．

Answer 1

【答案】（1）零點的個數為0，（2）無極值．

【解析】

（1）結合函數的單調性和極值，即可得到本題答案；

（2）先求導，再分類討論，即可得到的單調區間和極值，由此即可得到本題答案.

（1）當時，，

∴，

因為當時，，

所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，

當時，函數取得最大值，

所以函數在區間上零點的個數為0；

（2），

，

令，則，

所以在上為增函數，又，

所以當時，，

當時，.

①若時，

當時，恒成立，故在上單調遞增，

當時，恒成立，故在上單調遞增，

當時，恒成立，故在上單調遞減，

故有2個極值；

②若時，

當時，恒成立，故在上單調遞增，

當時，恒成立，故在上單調遞增，

當時，恒成立，故在上單調遞減，

故有2個極值點；

③當時，，

當時，恒成立，故在上單調遞增，

當時，恒成立，故在上單調遞增，

∴在R上單調遞增，無極值點．