Question

【題目】某地擬在一個U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一條堤壩（E在AP上，N在BQ上），圍出一個封閉區域EABN，用以種植水生植物．為了美觀起見，決定從AB上點M處分別向點E，N拉2條分隔線ME，MN，將所圍區域分成3個部分（如圖），每部分種植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，設所拉分隔線總長度為l．

（1）設∠AME=2θ，求用θ表示的l函數表達式，并寫出定義域；

（2）求l的最小值．

Answer 1

【答案】（1）l=，θ∈（0，）；（2）lmin=2a．

【解析】

（1）設MN=x，根據AM+BM=a，求出x=,再求得l=，θ∈（0，）；（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），利用二次函數的圖像和性質求l的最小值．

解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，

∴△BMN≌△EMN，

∴∠BNM=∠MNE，

∵∠AME=2θ，

∴∠BNM=∠MNE=θ，

設MN=x，

在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，

∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ，

∵AM+BM=a，

∴xsinθcos2θ+xsinθ=a，

∴x=，

∴l=EM+MN=，θ∈（0，）；

（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），

∴f（θ）≤，

當且僅當θ=時，取得最大值，此時lmin=2a．