Question

雙曲線M的中心在原點，并以橢圓的焦點為焦點，以拋物線的準線為右準線.

（Ⅰ）求雙曲線M的方程；

（Ⅱ）設直線： 與雙曲線M相交于A、B兩點，O是原點.

① 當為何值時，使得?

② 是否存在這樣的實數,使A、B兩點關于直線對稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）雙曲線M的方程為.

（Ⅱ）當時，使得. 

②當時，存在實數，使A、B兩點關于直線對稱

解析:

（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，

 又拋物線的準線為：.    ----------2分

設雙曲線M的方程為，依題意有，

故，又.

∴雙曲線M的方程為. ----------4分

（Ⅱ）設直線與雙曲線M的交點為、兩點

聯立方程組 消去y得  ，-------5分

∵、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根， ∴

∴，

從而有，.   ----------7分

又，

∴.

若，則有 ，即 .

∴當時，使得.    ----------10分

② 若存在實數,使A、B兩點關于直線對稱，則必有 ，

因此，當m=0時，不存在滿足條件的k；

當時，由 得

  

∵A、B中點在直線上，

∴，代入上式得

，又， ∴----------13分

將代入并注意到，得 .

∴當時，存在實數，使A、B兩點關于直線對稱----------14分