Question

【題目】已知函數，其導函數為.

（1）討論函數在定義域內的單調性；

（2）已知，設函數.

①證明：函數在上存在唯一極值點；

②在①的條件下，當時，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）減區間為；增區間為；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）求導后發現的正負由決定，利用導數研究單調遞增，又，從而逐層回推，得到的單調性；

（2）①求得，令，利用導數研究，即單調性，利用零點存在定理得到存在，使得，由此得到的單調性，從而證明結論；

②先求得，，利用導數研究單調性，從而得到的取值范圍.

解：（1）的定義域為：，

，

設，則，

當時，；，，

所以，單調遞增，又，

所以上，上

所以，的減區間為，增區間為；

（2）①，

，令，則

令，，

由，，，

所以，在遞減；在遞增.

即：在遞減；在遞增.

又，

所以，存在，使得，

從而有，在遞減；在遞增，在定義域內有唯一的零點.

②證明：，

在遞增，，

所以，，

，

設，，

在遞減，則的取值范圍為：.