Question

【題目】設m個正數a1 ， a2 ， …，am（m≥4，m∈N*）依次圍成一個圓圈．其中a1 ， a2 ， a3 ， …ak﹣1 ， ak（k＜m，k∈N*）是公差為d的等差數列，而a1 ， am ， am﹣1 ， …，ak+1 ， ak是公比為2的等比數列．
（1）若a1=d=2，k=8，求數列a1 ， a2 ， …，am的所有項的和Sm；
（2）若a1=d=2，m＜2015，求m的最大值；
（3）是否存在正整數k，滿足a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am）？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意ak=16，故數列a1，a2，…，am即為2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10個數，

此時m=10，Sm=84

（2）解：由數列{an}滿足a1=d=2，是首項為2、公差為2的等差數列知，ak=2k，

而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是首項為2、公比為2的等比數列知， ，

故有2k=2m+2﹣k，k=2m+1﹣k，即k必是2的整數次冪，

由k2k=2m+1知，要使m最大，k必須最大，

又k＜m＜2015，故k的最大值210，

從而21021024=2m+1，m的最大值是1033

（3）解：由數列{an}是公差為d的等差數列知，ak=a1+（k﹣1）d，

而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比為2的等比數列 ，

故a1+（k﹣1）d= ，

又a1+a2+…ak﹣1+ak=3（ak+ak+1+…+am﹣1+am），am=2a1

則 ，即 ，

則 ，即k2m+1﹣k+k=6×2m+1﹣k﹣12，

顯然k≠6，則

所以k＜6，將k=1，2，3，4，5一一代入驗證知，

當k=4時，上式右端為8，等式成立，此時m=6，

綜上可得：當且僅當m=6時，存在k=4滿足等式

【解析】（1）依題意ak=16，故數列a1 ， a2 ， …，am即為2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10個數，即可得出．（2）由數列{an}滿足a1=d=2，利用等差數列的通項公式可得ak=2k．而a1 ， am ， am﹣1 ， …，ak+1 ， ak是首項為2、公比為2的等比數列知， ．故有2k=2m+2﹣k ， k=2m+1﹣k ， 即k必是2的整數次冪，由k2k=2m+1知，要使m最大，k必須最大，又k＜m＜2015，故k的最大值210 ， 即可得出．（3）由數列{an}是公差為d的等差數列知，ak=a1+（k﹣1）d，而a1 ， am ， am﹣1 ， …，ak+1 ， ak是公比為2的等比數列 ，a1+（k﹣1）d= ， ，又a1+a2+…ak﹣1+ak=3（ak+ak+1+…+am﹣1+am），am=2a1 ， 顯然k≠6，則 ，所以k＜6，代入驗證即可得出．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．