【題目】已知函數
.
（1）當
時，證明函數
是增函數；
（2）是否存在實數
，使得只有唯一的正數
，當
時恒有：
，若這樣的實數存在，試求、的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）詳見解析；（2）存在實數
，
只有唯一值
滿足題意.
【解析】
（1）求出函數
的導數
，構造函數
，利用導數證明出
，可得出
，從而證明出函數是增函數；
（2）取
得出
，由
可得出
，構造函數
，由
得出
，然后分
和
兩種情況討論，結合
結合已知條件得出
和的值.
（1）
，
.
令，則
，
因此，函數
為增函數，
，
故
，因此，函數是增函數；
（2）取，可知.
.
令，
，
由于
.
①當時，
時，
，函數
在區間
上為減函數，
時，
，函數在區間
上為增函數，
，
令
，因此存在唯一的正數
，使得
，
故只能
.
，
，
時，
，函數
在區間
上為減函數，
時，
，函數在區間
上為增函數，
，此時只有唯一值.
②當時，，則函數為增函數，
，解得
，故
.
（i）
給定時，滿足
的不唯一；
（ii）
時，滿足的只能
.
但
時滿足
且
，因此時，值也不唯一.
綜上，存在實數，只有唯一值，當
時，恒有：
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4—4：坐標系與參數方程]:在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（t為參數，
），以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為
，已知直線與曲線C交于不同的兩點A，B．
(1)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
(2)設P(1，2)，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
的圓心為
，且直線
與圓相切，設直線
的方程為
，若點
在直線上，過點作圓的切線
，切點為
.
（1）求圓的標準方程；
（2）若
，試求點的坐標；
（3）若點的坐標為
，過點作直線與圓交于
兩點，當
時，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在三棱錐P﹣ABC中，D為AB的中點．
（1）與BC平行的平面PDE交AC于點E，判斷點E在AC上的位置并說明理由如下：
（2）若PA=PB，且△PCD為銳角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求證：AB⊥PC．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱錐
中，底面
是矩形，
平面，AB 1，AP AD 2.
（1）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（2）若點M，N分別在AB，PC上，且
平面，試確定點M，N的位置．
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