Question

（本小題滿分14分）

已知二次函數的圖象過點，且函數對稱軸方程為.

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）設函數，求在區間上的最小值；

（Ⅲ）探究：函數的圖象上是否存在這樣的點，使它的橫坐標是正整數，縱坐標是一個完全平方數？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

解：(Ⅰ)　∵　的對稱軸方程為，∴　．  ………… 2分

又的圖象過點（1，13），∴　，∴　．

∴　的解析式為． ………………………………………… 4分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得： ……………………… 6分

結合圖象可知：當，；

當，；

當，．……………………………… 9分

∴ 綜上：　……………………………………… 10分

（Ⅲ）如果函數的圖象上存在符合要求的點，設為，其中為正整數，

為自然數，則，   　　　……………………………………… 11分

（法一）從而， 即 ． 

注意到是質數，且，又，

所以只有 ，   解得：．…………………………… 13分

因此，函數的圖象上存在符合要求的點，它的坐標為．………… 14分

（法二）從而的偶數，∴　的奇數

∴　取驗證得，當時符合

因此，函數的圖象上存在符合要求的點，它的坐標為．………… 14分

 

【解析】略