Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）設為曲線上位于第一，二象限的兩個動點，且，射線交曲線分別于，求面積的最小值，并求此時四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）面積的最小值為；四邊形的面積為

【解析】

（1）將曲線消去參數即可得到的普通方程，將，代入曲線的極坐標方程即可；

（2）由（1）得曲線的極坐標方程，設，，，

利用方程可得，再利用基本不等式得，即可得，根據題意知，進而可得四邊形的面積.

（1）由曲線的參數方程為（為參數）消去參數得

曲線的極坐標方程為，即，

所以，曲線的直角坐標方程.

（2）依題意得的極坐標方程為

設，，，

則，，故

，當且僅當（即）時取“=”，

故，即面積的最小值為.

此時，

故所求四邊形的面積為.