Question

已知A、B、C是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的三點，其中點A的坐標為(2

3

，0)，BC過橢圓M的中心，且

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

|．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點（0，t）的直線l（斜率存在時）與橢圓M交于兩點P、Q，設D為橢圓M與y軸負半軸的交點，且|

DP

|=|

DQ

|，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據點A的坐標求出a，然后根據

AC

•

BC

=0求出b，綜合即可求出橢圓M的方程．
（2）根據題意設出直線方程，與（1）中M的方程聯立，然后運用設而不求韋達定理進行計算，求出實數t的取值范圍．

解答：解：（1）∵點A的坐標為（2

3

，0，）
∴a=2

3

，橢圓方程為

x2

12

+

y2

b2

=1                 ①
又∵|

BC

|=2|

AC

|．，且BC過橢圓M的中心O（0，0），
∴|

OC

|=|

AC

|．
又∵

AC

•

BC

=0，
∴△AOC是以∠C為直角的等腰三角形，
易得C點坐標為（

3

，

3

）
將（

3

，

3

）代入①式得b²=4
∴橢圓M的方程為

x2

12

+

y2

4

=1
（2）當直線l的斜率k=0，直線l的方程為y=t
則滿足題意的t的取值范圍為-2＜t＜2
當直線l的斜率k≠0時，設直線l的方程為y=kx+t
由

y=kx+t x2 12 + y2 4 =1

得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-12=0
∵直線l與橢圓M交于兩點P、Q，
∴△=（6kt）²-4（3k²+1）（3t²-12）＞0
即t²＜4+12k² ②
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ中點H（x₀，y₀），
則H的橫坐標x0=

x1+x2

2

=

-3kt

3k2+1

，
縱坐標y0=kx0+t=

t

3k2+1

，
D點的坐標為（0，-2）
由|

DP

|=|

DQ

|，
得DH⊥PQ，k_DH•k_PQ=-1，
即

t 3k2+1 +2

- 3kt 3k2+1

•k=-1，
即t=1+3k²．                                       ③
∴k²＞0，∴t＞1．                                 ④
由②③得0＜t＜4，
結合④得到1＜t＜4．
綜上所述，-2＜t＜4．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，以及橢圓的標準方程問題．涉及直線與橢圓的位置關系，以及熟練運用韋達定理的方法．屬于中檔題．