Question

【題目】求滿足如下條件的最小正整數(shù)：在的圓周上任取個點(diǎn)，則在個中，至少有2007個不超過.

Answer 1

【答案】91

【解析】

首先，當(dāng)時，如圖，設(shè)是的直徑，在點(diǎn) 和的附近分別取45個點(diǎn)，此時，只有個角不超過 .所以，不滿足題意.

其次，當(dāng)時，接下來證明：至少有2007個角不超過.

對圓周上的91個點(diǎn)，若 ，則聯(lián)結(jié) ，這樣就得到一個圖.設(shè)圖中有條邊.

當(dāng)， 時，，故圖中沒有三角形.

若，則有個角不超過，命題得證.

若，不妨設(shè)、之間有邊相連，因?yàn)閳D中沒有三角形，所以，對于點(diǎn) ，它至多與、中的一個有邊相連.從而， ，其中，表示從 處引出的邊數(shù).又，而對圖中每一條邊的兩個頂點(diǎn)、 ，都有.

于是，上式對每一條邊求和可得.

由柯西不等式得

.

故 ，.

因此，91個頂點(diǎn)中，至少有個點(diǎn)對，它們之間沒有邊相連.從而，對應(yīng)的頂點(diǎn)所對應(yīng)的角不超過 .

綜上所述，的最小值為91.